Menghitung Probabiltas

V. MENGHITUNG PROBABILITAS



Probabilitas Suatu Peristiwa

Suatu ruang sampel memunyai elemen N(S). Peristiwa A adalah himpuan bagian dari S mempunyai elemen N(A). Probabilitas peristiwa A di definisikan
P(A) = (N(A))/(N(S))

N (…) menunjukkan banyaknya elemen dalam peristiwa
Contoh:
Jika A adalah peristiwa banyaknya sisi genap dalam suatu pelemparan sebuah dadu, maka S = {1,2,3,4,5,6} Peristiwa A = {2,4,6} sehingga N(S) = 6 dan N(A)= 3 probabilitas peristiwa A = P(A) = 3/6 = 0,5
Sifat-sifat probabilitas yang penting adalah:
P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi
0 < P(A) < 1
Karena 0 < N(A) < N(S) maka
P(∅) = 0 dan P (S) = 1
P(∅) = (N(∅))/(N(S))= 0/(N(S)) = 0, P (S) = (N(S))/(N(S)) = 1
P(A) = 1 artinya A pasti terjadi, P(A) = 0 artinya A tidak mungkin terjadi

Aturan Penjumlahan
Aturan penjumlahan digunakan untuk menghitung suatu peristiwa A atau peristiwa yang lain, peristiwa B akan terjadi ditulis P(A atau B) atau P (A∪B), sedangkan aturan perkalian digunakan untuk menghitung peristiwa A dan peristiwa B akan terjadi bersama-sama, ditulis P(A dan B) atau P (A∩B)

Aturan Penjumlahan
Ada dua auturan penjumlahan yaitu untuk peristiwa yang Mutually Exclusive Events dan Not Mutually Exclusive Events

Mutually Exclusive Events
Dua kejadian dikatakan mutually exclusive satu sama lain jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersama-sama.Terjadinya peristiwa A atau peristiwa B adalah penjumlahan kemungkinan terjadinya kedua peristiwa tersebut yaitu:
P (A∪B) = P(A) + P(B) yang berasal dari:
N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Karena
A dan B saling asing A∩B = ∅ dan P(A∩B) = 0
Contoh1.
Pelemparan sebuah dadu, kemungkinan mata genap dan mata ganjil yang mungkin adalah P (A∪B) = P(ganjil) + P (genap) = 3/6 + 3/6 = 1
Contoh2.
Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Peristiwa A = terambil kartu hati, Peritiwa B = terambil kartu berlian maka P (A∪B) adalah:
Peristiwa A kartu hati, P(A) = 13/52 = 1/4 , Peristiwa B kartu berlian P(B) = 13/52 = 1/4, maka P (A∪B) = 1/4 + 1/4 = 1/2
Not Mutually Exclusive Events
Dua kejadian A dan B dikatakan Not Mutually Exclusive Events, maka peristiwa itu dapat terjadi bersama-sama.
P (A∪B) = P(A) + P(B) - P (A∩B)
Karena:
A dan B saling asing, sehingga P (A∩B) ≠ 0
Contoh :
Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek kartu bridge. Peristiwa A = terambil kartu hati, Peritiwa B = terambil kartu Ace, maka P (A∪B) adalah:
Peristiwa A kartu hati, P(A) = 13/52 = 1/4 , Peristiwa Ace P(B) = 4/52 = 1/13, dan, P(A∩B) = 1/52, maka P (A∪B) = 1/4 + 1/13 - 1/52 = 16/52
Complementary Events
Dua kejadian A dan B dikatakan complementary,
jika kejadian A tidak muncul, maka kejadian B pasti muncul.
P(A) + P(B) = 1 atau P(B) = P(Ac)
P(Ac) = 1 – P(A)
karena:
Ac ∪ A = S, N(Ac ∪ A) = N(S) P(S) = 1 = P(Ac ∪ A) = P(Ac) + P(A)
Maka P(Ac) = 1- P(A)
Contoh:
Sebuah dadu telah dibuat sedemikian rupa sehingga dalam jangka panjang sisi-sisi dadu itu akan nampak di atas dalam frekuensi relative sebagai berikut.
Sisi dengan titik 1 2 3 4 5 6
Frekuensi Relatif 0,13 0,18 0,18 0,16 0,15 0,20
Ruang sampel pelemparan dadu satu kali adalah S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Peristiwa A kejadian nampak muka genap, mempunyai probabilitas P (A) = 0,18 + 0,16 + 0,20 = 0,54 sedangkan Ac = titki ganjil, mempunyai probabilitas P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,54 = 0,46 atau P(Ac) = 0,13 + 0,18 + 0,15 = 0,46

Aturan perkalian
Ada dua aturan perkalian yaitu untuk peristiwa bebas (independent) dan peristiwa yang tidak bebas (dependent)
Kejadian bebas
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas satu sama lain jika munculnya kejadian A tidak akan berpengaruh terhadap peluang munculnya kejadian B. Untuk kejadian bebas berlaku P (A∩B) = P(A) X P(B)
Contoh 1.
Probabilitas muncul muka 1 dalam pelemparan sebuah dadu adalah = 1/6, muncul muka 2 adalah 1/6. Pada pelemparan dadu keluarnya muka 1 tidak tergantung keluar dan tidaknya muka 2 sehingga:
P (A∪B) = P(A) X P(B) = 1/6 X 1/6 = 1/36
Contoh 2.
Seorang mekanik melakukan seleksi terhadap 2 sprayer A dan B untuk dipakai menyemprot gulma. Peluang mendapat sprayer A yang baik adalah 0.9 dan peluang mendapat sprayer B yang baik adalah 0.95. Dengan demikian peluang mendapat pompa A dan B yang baik adalah:
P(A baik ∩ B baik) = P(A baik) X P(B baik) = 0.9 x 0.95 = 0.855

Dependent
Peristiwa dependent adalah kejadian yang terjadi jika kejadian lainnya sudah terjadi atau disebut peluang bersyarat. Peluang kejadian A terjadi jika kejadian B sudah terjadi ditulis dengan P(A/B) (dibaca kejadian A jika B), atau peluang bersayarat A jika B telah terjadi. Pada peristiwa dependent berlaku P (A∩B) = P(A) X P(A/B)
P(A/B) = (Jumlah kejadian A dan B dapat muncul bersama)/(Jumlah kejadian B dapat muncul)
P(A∩B)= (A∩B)/S P (B)= B/S
P"(A/B) = " (S.P(A∩B))/(S.P(B))= (P (A∩B))/(P(B))
"P(B/A) = " (P (A∩B))/(P(A))
Contoh1.
Sebuah kartu diambil dari sebuah kotak remi dengan isi 52 buah lembar kartu. Jika A adalah kejadian mendapat kartu merah dan kejadian B adalah kejadian mendapat kartu bergambar (jack, queen, king). Maka berapakah peluang munculnya kejadian A dan B secara bersama-sama?
Peluang muncul kejadian A adalah peluang mendapat kartu berwarna merah yaitu P(A) = 26/52. Peluang muncul kejadian B jika kejadian A sudah terjadi adalah Peluang mendapat kartu bergambar dari semua kartu berwarna merah yang besarnya adalah P(B/A)=6/26. Sehingga
P(A/ B) = P(B/A).P(A) = P(A/B).P(B) =26/52 . 6/26 = 6/52