Kamis, 12 Maret 2009

Dasar-dasar Probabilitas

Pendahuluan
Probabilitas adalah peluang suatu kejadian, Probabilitas/peluang secara umum dapat dipandang sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain. Probabilitas dapat pula diartikan sebagai suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang.

Contoh :
Kegiatan melempar uang. Kemungkinan hasil yang diperoleh mempunyai dua kemungkinan yaitu: muncul gambar G) dan muncul angka (A). Peristiwa munculnya angka mempunyai probabilitas ½ atau 50%.

Mahasiswa menempuh ujian skripsi. Kemungkinan hasil yang diperoleh mempunyai tiga kemungkinan yaitu: Lulus memuaskan (M), lulus sangat memuaskan (SM). lulus terpuji (P). Probabilitas mahasiswa lulus dengan predikat terpuji adalah 1/3 atau 33,3%

Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan muka 4 adalah 1/6. Dua buah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat jumlah muka dadu sembilan adalah: Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah: (3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9 atau 11,11%
Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai dengan 1 atau dalam bentuk persen 0% s/d 100 %. Peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada yang abadi dan peluang manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat. Nilai peluang dapat digambarkan sebagai berikut

Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut di atas, atau dengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yang diharapkan dan hasil yang tidak diharapkan.
Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan hasil yang tidak pasti, dan bermakna apabila eksperimen diulang dalam kondisi yang sama akan memberikan hasil yang dapat berbeda-beda.
Manfaat mempelajari probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.
Contoh: Pemberian air dan hara pada sistem aerophonik. Dibutuhkan saluran yang baik, besar kecilnya saluran (pipa) yang digunakan tergantung dari besarnya air dan pupuk yang diberikan. Secara umum saluran yang besar akan memecahkan masalah, tetapi hal ini akan menjadi pemborosan karena air dan pupuk yang diberikan dalam jumlah yang tertentu. Keputusan untuk menggunakan pipa sebagai saluran membutuhkan dasar-dasar probabilitas.
Contoh lain adalah peluang suatu tanaman untuk memperoleh hasil yang tinggi dengan memberikan perlakuan pemupukan, sukses atau tidak nya suatu perlakuan, dll.

Dasar-dasar Probabilitas.
Percobaan (Eksperiment)
Pengamatan terhadap beberapa aktifitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Percobaan tidak terbatas pada percobaan dalam laboratorium, tetapi juga meliputi sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu dimana pada kondisi tersebut percobaan dapat diulang-ulang dan menghasilkan hasil yang tidak sama.

Hasil (outcome)
Hasil dari sebuah percobaan atau hasil pengamatan pada percobaan. Himpunan yang anggotanya merupakan hasil yang mungkin dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel. Elemen dalam ruang sampel dinamakan titik sampel. Ruang sampel diskrit adalah ruang sampel yang mempunyai banyak elemen terhingga, sedangkan ruang sampel kontinu memuat semua bilangan riil suatu interval.

Peristiwa (event):
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Dengan kata lain peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Peristiwa yang hanya memuat satu elem saja disebut peristiwa sederhana. Peristiwa dapat disusun dari beberapa peristiwa sederhana dinamakan peristiwa bersusun.

Contoh
Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu
Hasil : Sisi dadu
Ruang sampel : S = { 1,2,3,4,5,6}
Peirstiwa : A = Munculnya dadu genap
A = { 2,4,6}
Eksperimen : Pelemparan koin 2 kali
Hasil : Salah satu hasilnya GA yang menunjukkan bahwa hasil
pelemparan pertama adalah sisi Gambar dan hasil pelembaran kedua Angka.
Ruang sampel : S = { GA, GG, AG, AA}
Peirstiwa : A = Paling sedikit muncul muka Gambar (G)
A = { GA, GG, AG}

Peristiwa dan Operasinya (Diagram Ven)
Suatu peristiwa dan operasinya dapat dipelajari dengan menggunakan diagram Venn. Diagram Venn umumnya digambarkan dengan sebuah persegi panjang yang mewakili total peluang yang ada. Ada dua atau lebih kejadian didalamnya yang mana peluang masing-masing kejadian akan digabungkan. Peristiwa baru dapat dibentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada. Untuk membentuk suatu peristiwa digunakan Union (∪), interaksi (∩) dan komplementasi.

Union dua peristiwa A dan B (A∪B) adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau di dalam B Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A = {1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}. A∪B = {1,2,3,4,5,6,8}

Interaksi dua peristiwa A dan B (A∩B) adalah impunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B. Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8}

Komplemen peristiwa A dan B (Ac) adalah himpunan semua elemen yang tidak ada di dalam A . Contoh : S = {1,2,3,4,5,6,7,8} dan A = {1,2,3,4,5} maka Ac = {6,7,8}

Menghitung Titik Sampel
Aturan 1.
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara.
Contoh:
Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali. Pelemparan dadu pertama menghasilkan 6 hasil yang mungkin, untuk tiap-tiap hasil pelemparan dadu pertama , pelemparan dadu ke dua menghasilkan 6 hasil yang mungkin. Hasil yang mungkin seluruhnya adalah 3 X 3 = 36
Aturan 2
Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara.
Contoh:
Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto. Hasil yang mungkin adalah 4 x 3 x 5 x 4 = 240 hidangan

Permutasi
Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda adalah jumlah susunan yang berbeda yang dimungkinkan dari objek tersebut. Jika semua objek digunakan dalam susunan, maka permutasi di tuliskan dengan nPn. Jika sebagian objek saja (r) yang disusun dari n jumlah objek yang ada (r < n) maka permutasinya dituliskna dengan nPr.
nPr = n (n-1) (n-2) … (n-r+1)
jika r = n maka
nPn = n (n-1) (n-2) … (n-r+1) = n! (dibaca n faktorial)
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
0! = 1
Contoh 1.
Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S.
nPr = n!/(n-r)! 20P5 = 20!/(20-5)!= 20!/15! = (20)(19)(18)(17)(16)(17) =
Contoh 2.
Bentuk 3 bilangan angka yang dibentuk dari angka 1,2,3,4,5 Urutan bilangan angka yang dibentuk harus diperhatikan. Oleh karena itu persoalan disini adalah permutasi
nPr = n!/(n-r)! 5P2 = 5!/(5-3)!= 5!/2! = 5 x 4 x 3 = 60
apabila yang disusun sebanyak 5 bilangan
nPr = n!/(n-r)! 5P5 = 5!/(5-5)!= 5!/0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120
Aturan 3.
Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
Contoh :
Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam permainan
tersebut? Banyaknya susunan = (n-1)! = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Aturan 4
Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,…, nk berjenis ke k adalah
n!/(n_1 ! n_2 ! n_3 ! …n_k !)
Contoh:
Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning dan dua biru?
Banyaknya cara menyususn lampu = 9!/(3! 3! ) = = (9 x 8 x 7 x 6 x…1)/((3x 2 x 1)(3x 2 x 1) ) = 126
Aturan 5.
Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah:
(n/(n_1,n_2,n_3,…n_k ))= (n!/(n_1 !,n_2 !,n_3 !,…n_k !))
dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n.
Contoh:
Berapa banyak cara untuk menampung 9 mahasiswa dalam tiga kamar hotel, bila satu kamar bertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur?
Cara yang dapat digunakan adalah = (9!/(3! 2! 2!)) = 15120 cara

Kombinasi
Jumlah kombinasi dari n benda yang berbeda adalah jumlah susunan dari r benda yang berbeda tanpa memperhitungkan susunannya disebut kombinasi. Kombinasi r objek dari n objek yang ada dituliskan dengan nCr .
Teorema 6
Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah:

nCr = (■(n@r)) =(n !)/(r !(n-r)!)
Contoh 1.
Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.
Cara memilih 2 kimiawan dari 4 adalah
4C2 = (■(4@2)) = (4 !)/(2 !(4-2)!) = (4 !)/(2 !(2)!) = 6
Cara memilih 1 kimiawan dari 2 adalah
3C1 = (■(3@1)) = (3 !)/(1 !(3-1)!) = (3 !)/(1 !(2)!) = 3
Banyaknya panitia adalah 6 x 3 = 18 susunan panitia
Contoh 2.
Dari 6 siswa laki-laki (L) dan 5 siswa perempuan (P) akan dibentuk sebuah panitia yang terdiri dari 6 anggota dimana panitia tersebut paling sedikit harus terdiri dari 3 perempuan. Berapa jumlah panitia yang berbeda yang mungkin dibentuk?
Panitia dengan syarat seperti di atas mungkin terdiri dari 3 P dan 3 L, 4 P dan 2 L serta 5 P dan 1 L. Dengan demikian masing-masing perbandingan jumlah panitia Laki dan Perempuan tersebut dapat tersusun dari:
5CP3 . 6CL3 + 5CP4 . 6CL2 + 5CP5 . 6CL1 = 281 panitia yang berbeda
Contoh 3.
4 bola diambil dari sebuah kotak yang terdiri dari 10 bola hitam dan sepuluh bola putih. Berapakah peluang mendapat bola yang semuanya berwarna hitam dan peluang mendapat bola dengan warna yang sama?.
Peluang mendapat bola hitam jika setiap bola yang terambil dikembalikan sebelum melakukan pengambilan berikutnya?
Jumlah kejadian yang mungkin 4 bola hitam yang dapat diambil dari 20 bola yang ada adalah 20C4 = 4845.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar